如图，椭圆的右焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．(Ⅰ)求证：直线MN恒过定点T，并求出T的坐标；(Ⅱ)求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程
1人问答
问题描述：
如图，椭圆的右焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．
(Ⅰ)求证：直线MN恒过定点T，并求出T的坐标；
(Ⅱ)求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并判断定点T与轨迹的位置关系．
____
蒋溢回答：
【分析】(Ⅰ)设AB：y=k(x-1)，由题意知⇒，，同理，所以MN过定点()，当AB的斜率不存在或为零时同样MN过定点()，所以T()．
n(Ⅱ)以AB为直径的圆M的方程为：同理以CD为直径的圆N的方程为：
，由此可以判断定点T与轨迹的位置关系．
(Ⅰ)∵F(1，0)，不妨设AB的斜率存在且不为零，
n设AB：y=k(x-1)
n∴
n∴，同理(3分)
n∴MN过定点()，当AB的斜率不存在或为零时
n同样MN过定点()，∴T()．(7分)
n(Ⅱ)以AB为直径的圆M的方程为：
①(9分)
n同理以CD为直径的圆N的方程为：
②(11分)
n①-②得公共弦直线方程为③
n又MN直线方程④
n由③、④消去k得两圆公共弦中点的轨迹方程为：(15分)
n∴点T在圆上．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．
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