设函数f(x)二阶可导,f'(x)是f'(x)+2f(x)+e^x的一个原函数,且f(0)=0.f'(0)=1求f(x),
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问题描述：
设函数f(x)二阶可导,f'(x)是f'(x)+2f(x)+e^x的一个原函数,且f(0)=0.f'(0)=1求f(x),
马占军回答：
由题意,
f"(x)=f'(x)+2f(x)+e^x
特征方程为t²=t+2
(t-2)(t+1)=0
得t=2,-1
即齐次方程的解为y1=C1e^(2x)+C2e^(-x)
设特解为y*=ae^x
则y*'=y*"=ae^x
代入方程得：ae^x=ae^x+2ae^x+e^x
得2a+1=0
a=-1/2
故方程通解为f(x)=y1+y*=C1e^(2x)+C2e^(-x)-1/2e^x
f'(x)=2C1e^(2x)-C2e^(-x)-1/2e^x
由初始条件得：
f(0)=C1+C2-1/2=0
f'(0)=2C1-C2-1/2=1
两式相加得：3C1-1=1,得C1=2/3
故C2=1/2-C1=1/2-2/3=-1/6
因此f(x)=2/3e^(2x)-1/6e^(-x)-1/2e^x
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