如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运
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问题描述：
| 如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts． （1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC； （2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ |
侯楚林回答：
（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；如图1，连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC?BD，OA=AC，∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴OA=，AC=2OA=2，运动ts后，，∴又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=由PM=PQ=AQ=t，即=t解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1∴时，⊙P与边BC有2个公共点．如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．∴当1≦t≦3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，∴当t=4﹣6或1＜t≦3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当4﹣6＜t≦1时，⊙P与边BC有2个公共点．
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