【已知二次函数y=(x+m)²+k-m²的图像与x轴相交与两个不同的点A(X1,0)B(X2,0)与y轴交点C,设三角形ABC的外接圆的圆心为点P.（1)求圆P与y轴另一个交点D的坐标（2）如果AB恰好为圆P的直径,且三角】|小学数学问答-字典翻译问答网

【已知二次函数y=(x+m)²+k-m²的图像与x轴相交与两个不同的点A(X1,0)B(X2,0)与y轴交点C,设三角形ABC的外接圆的圆心为点P.（1)求圆P与y轴另一个交点D的坐标（2）如果AB恰好为圆P的直径,且三角】

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问题描述：

已知二次函数y=(x+m)²+k-m²的图像与x轴相交与两个不同的点A(X1,0)B(X2,0)与y轴交点C,设三角形ABC的外接圆的圆心为点P.

（1)求圆P与y轴另一个交点D的坐标

（2）如果AB恰好为圆P的直径,且三角形ABC的面积等于根号5,求m和k的值.

孟为民回答：

　　已知二次函数y=(x+m)^2+k-m^2的图象与x轴相交于两个不同的点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P. 　　（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；　　二次函数y=(x+m)^2+k-m^2的对称轴为x=-m 　　且,y=x^2+2mx+m^2+k-m^2=x^2+2mx+k 　　所以,它与y轴的交点C(0,k) 　　点A(x1,0)、B(x2,0)在x轴上,且它们关于对称轴x=-m对称　　因为,△ABC外接圆的圆心P为各边垂直平分线的交点　　所以,点P必定在AB的垂直平分线x=-m上　　所以,不妨设圆心P(-m,a) 　　根据圆上各点到圆心的距离相等,则：PA=PB=PC 　　所以,PA^2=PC^2 　　即：　　(x1+m)^2+a^2=m^2+(k-a)^2 　　因为点x1是二次函数与x轴交点A的横坐标　　则,y=(x1+m)^2+k-m^2=0 　　所以,(x1+m)^2=m^2-k 　　===>(m^2-k)+a^2=m^2+k^2-2ka+a^2 　　===>m^2-k+a^2=m^2+k^2-2ka+a^2 　　===>-k=k^2-2ka 　　===>2ka=k^2+k 　　===>a=(k+1)/2【显然,k≠0.因为k=0时,点C就在x轴上,那么点A、B、C就在同一直线上,那么它们无法有同一个外接圆】　　所以,圆心P(-m,(k+1)/2) 　　因为点D是圆P与y轴的交点,所以不妨设点D(0,b) 　　那么,根据PA^2=PD^2=r^2得到：　　(x1+m)^2+[(k+1)/2]^2=m^2+[b-(k+1)/2]^2 　　===>m^2-k+[(k+1)/2]^2=m^2+b^2-b(k+1)+[(k+1)/2]^2 　　===>-k=b^2-b(k+1) 　　===>b^2-b(k+1)+k=0 　　===>(b-k)(b-1)=0 　　所以,b1=k【这就是C点的纵坐标】、b2=1 　　所以,点D的坐标为D(0,1) 　　（2）如果AB恰好为⊙P的直径,且△ABC的面积等于√5,求m和k的值　　由(1)知,圆心P(-m,(k+1)/2) 　　若AB为圆P的直径,则说明圆心P在AB上,也就是在x轴上　　所以,圆心P的纵坐标(k+1)/2=0 　　所以,k=-1 　　当k=-1时,二次函数为y=x^2+2mx-1,点C(0,-1) 　　S△ABC=(1/2)*|AB|*|Cy|【Cy表示C点的纵坐标】　　=(1/2)*(x2-x1)*1=√5 　　所以,x2-x1=2√5 　　===>(x2-x1)^2=20 　　===>x1^2+x2^2-2x1x2=20 　　===>(x1+x2)^2-4x1x2=20……………………………………（1）　　因为x1、x2是二次函数y=x^2+2mx-1与x轴的交点横坐标,也就是说x1、x2是方程x^2+2mx-1=0的两个实数根　　所以：x1+x2=-2m,x1x2=-1 　　代入(1)式,就有：(-2m)^2+4=20 　　===>4m^2=16 　　===>m^2=4 　　===>m=±2