在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；（3）求该几何体的体积．
1人问答
问题描述：
在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求该几何体的体积．
吉培荣回答：
证明：（1）取BD的中点M，连接DM、AM，由已知BD=CD，可得：DM⊥BC，
又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因为AE⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
∴AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
∴CD⊥平面BDE，
因为CD⊂平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．（10分）
（也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系）
（3）∵BC⊥DM，BC⊥AM，DM∩AM=M，
∴BC⊥平面AEDM，（11分）
AM=3
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