证明∑sin(π√n^2+a^2)的敛散性
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问题描述：
证明∑sin(π√n^2+a^2)的敛散性
孙怡宁回答：
sin[π√(n²+a²)]
=sin[nπ√(1+(a/n)²)]
=sin[nπ(1+(a/n)²/2+o(1/n^4))]------展开成带皮亚诺余项的迈克劳林式子
=sin[nπ+πa²/2n+o(1/n^3))]
=(-1)ⁿsin[πa²/2n+o(1/n^3))]------三角函数和差化积
(-1)ⁿ[πa²/2n+o(1/n^3))]
∑(-1)ⁿπa²/2n条件收敛,∑o(1/n^3))收敛(因为1/n^3收敛),所以最后原级数(条件)收敛
孙怡宁回答：
哦，我明白你的意思了，求出sin[π√(n²+a²)]=(-1)ⁿsina^2π/[√(n^2+a^2)+n]后，不应该直接讨论sina^2π/[√(n^2+a^2)+n]的单调性，而应该讨论|sina^2π/[√(n^2+a^2)+n]|的单调性，这样就避免了讨论常数a。你仔细看交错级数的定义：Un>0,则称∑(-1)^(n-1)Un为交错级数,注意最前面的那个条件。|sina^2π/[√(n^2+a^2)+n]|=|sina^2π|/[√(n^2+a^2)+n]，分子是个正的常数，分母亦为正数，且当n增大时，分母变大，分子不变，故单调减
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