不等式选讲的数学题已知a,b,c＞0,且a²+4b²+3c²=9t=1/a²+1/b²+3/c²,求t的最小值（小2是平方,最好是柯西不等式，排序不等式这方面的，太深奥的还没学呢
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问题描述：
不等式选讲的数学题
已知a,b,c＞0,且a²+4b²+3c²=9
t=1/a²+1/b²+3/c²,求t的最小值
（小2是平方,
最好是柯西不等式，排序不等式这方面的，太深奥的还没学呢
高彦彦回答：
利用均值不等式即可
由于:
t
=1/a^2+1/b^2+3/c^2
=(1/9)[9(1/a^2+1/b^2+3/c^2)]
又：
a^2+4b^2+3c^3=9
则：
t
=(1/9)[(a^2+4b^2+3c^2)(1/a^2+1/b^2+3/c^2)]
=(1/9)[1+4+9+(a^2/b^2+4b^2/a^2)+(12b^2/c^2+3c^2/b^2)+(3a^2/c^2+3c^2/a^2)]
由均值不等式,可得：
(a^2/b^2+4b^2/a^2)>=
2√[(a^2/b^2)(4b^2/a^2)]=4
同理可得：
(12b^2/c^2+3c^2/b^2)>=12
(3a^2/c^2+3c^2/a^2)>=6
则有：
t>=(1/9)(1+4+9+4+12+6)=4
当且仅当：
a^2/b^2=4b^2/a^2,
12b^2/c^2=3c^2/b^2,
3a^2/c^2=3c^2/a^2,
a^2+4b^2+3c^2=9时取等号
即：
a=c=√6/2,b=√3/2时
t取最小值为4
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