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1)设m,n,p均为自然数,适合m≤n≤p,且m+n+p=15,试问:以m,n,p为边长的三角形有几个?2)有一个凸11边形,它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙的拼成,求这个凸11边形
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问题描述:

1)设m,n,p均为自然数,适合m≤n≤p,且m+n+p=15,试问:以m,n,p为边长的三角形有几个?

2)有一个凸11边形,它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙的拼成,求这个凸11边形各内角的大小.

3)设三角形的三个内角的度数分别为A,B,C相应的对边长分别为a,b,c.求证:aA+bB+cC分之a+b+c≥60°

杜世臣回答:
  1,8个   因为凸11边形由边长为1的正三角形和边长为1的正方形无重叠,无间隙地拼成,而等边三角形和正方形的内角分别是60°和90°   所以这个11边形的内角只能是60°、90°、120°、150°   设这个11边形中60°、90°、120°、150°四种内角的个数分别为a、b、c、d   则根据题意有:   a+b+c+d=11   60a+90b+120c+150d=(11-2)*180   消去d得:   3a+2b+c=1   因为a、b、c、d均为非负整数   所以要使3a+2b+c=1成立   只有:a=b=0,c=1,   所以:d=10   所以这个凸11边形各内角为:   一个120°,十个150°   第三题是这样(a+b+c)/(aA+bB+cC)≥60°?
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