【在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．（1）若∠BAC=90°，求证：四边形ADCH是菱形；（2】
1人问答
问题描述：
在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．
（1）若∠BAC=90°，求证：四边形ADCH是菱形；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．
邓君明回答：
考点：
菱形的判定与性质
专题：
分析：
（1）首先判定四边形ADCH是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边判定AD=CD，则易推知结论；（2）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．
（1）证明：如图，∵CG∥AD，AH∥CD，∴四边形ADCH是平行四边形．∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=CD，∴四边形ADCH是菱形；（2）过A作AM⊥CD，垂足为M．∵AD=AC，∴DG=CM，∴BD：BM=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BMA，∴ED：AM=BD：BM=2：3，∵DE=3，∴AM=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=（CDBC）2=14．∵S△ABC=12×BC×AM=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．
点评：
此题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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