【极坐标求三角形面积最小值O是直角坐标系原点，A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB面积最小？最小值为多少？请用极坐标方法解答，谢谢】
2人问答
问题描述：
极坐标求三角形面积最小值
O是直角坐标系原点，A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB面积最小？最小值为多少？
请用极坐标方法解答，谢谢。请给出详细解答过程，3Q~
李莎莎回答：
极坐标方程ρ=R(s)，s为夹角
设OA与x夹角为s1,设OB与x夹角为s2
OA⊥OB->s1-s2=pi/2
△AOB面积S=OA*OB/2=R(s1)*R(s2)/2
由坐标变换x=cos(s)*R(s),y=sin(s)*R(s)带入抛物线得
sin(s)^2*R(s)^2=2p*cos(s)*R(s)
R(s)=2p*cos(s)/sin(s)^2因为R(s)恒>0
面积S=2p^2*cos(s1)cos(s2)/sin(s1)^2/sin(s2)^2
s1-s2=pi/2，->s1=pi/2+s2
所以sin(s1)=sin(pi/2+s2)=cos(s2)
cos(s1)=cos(pi/2+s2)=-sin(s2)
带回S得S=-2p^2/(cos(s2)sin(s2))=-4p^2/sin(2s2)
这里得注意，s2属于第四象限(3/2pi,2pi)，
2s2属于三四象限(3pi,4pi)=(pi,2pi)，sin(2s2)为负
所以当sin(2s2)最小时，面积S最小
sin(2s2)
侯峻峰回答：
将y²=2px（p＞0）化为P=2p/（tanθsinθ)（-∏/2＜θ＜∏/2），令0＜θ＜∏/2，则可得0A=2p/（tanθsinθ),0B=2p/（tan(θ-∏/2)sin(θ-∏/2))
则面积S=（1/2)0A*0B=(4p^2)/sin2θ
易知θ=∏/2时S最小，为4p^2
打得我死累
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