2011年南京市数学中考指导书116页第五题任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
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问题描述：
2011年南京市数学中考指导书116页第五题任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,
它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
牛海回答：
存在,不过不相似
假定初始的矩形边长为a、b,则有：
面积：S=a*b
周长：L=2(a+b)
假定另外一个矩形周长为此两倍,有：L2=4(a+b)
可以设此矩形边长为：x、y,则有
L2=2(x+y)=4(a+b)
x+y=2(a+b)
y=2(a+b)-x
面积:
S2=x*y
=x*[2(a+b)-x]
=-x^2+2(a+b)*x
注意到此函数取得最大值时：
x=(a+b)
y=(a+b)
S2=(a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab≥4ab=4*S
面积最小则为0,那么说明这个矩形的面积可以是2*S
即可存在符合条件的矩形,但是与原矩形不是相似形
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