如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，CD=3cm，CA=4cm，AD=5cm，点E在AD上运动，作直线EO交BC于点F．（1）试说明：线段AE与FC相等；（2）如图2，当点E运动到使AE=a时，四边形AECF
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问题描述：
| 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，CD=3cm，CA=4cm，AD=5cm，点E在AD上运动，作直线EO交BC于点F． |
| （1）试说明：线段AE与FC相等； （2）如图2，当点E运动到使AE=a时，四边形AECF是矩形，请你求出a的值． （3）如图3，探索：当点E运动到AD中点时，四边形AECF的形状，并说明理由． |
沈潞回答：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OA=OC，在△EAO和△FCO中，，从而可得△EAO≌△FCO，故可得AE=CF；（2）当点E运动到使AE=3.2时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵四边形AECF是矩形，∴△ACE和△DCE都是直角三角形，根据勾股定理得，EC2=AC2﹣AE2，EC2=DC2﹣DE2，∴AC2﹣AE2=DC2﹣DE2，即42﹣a2=32﹣（5﹣a）2，解得：a=3.2；（3）当点E运动到AE中点时，四边形AECF是菱形；理由如下：∵E是AE中点，∴DE=AE=FC=2.5．∵AD∥BC，∴四边形EFCD和四边形AECF都是平行四边形，∴EF∥CD，由已知CD=3，CA=4，CB=5，∴AD2=AC2+CD2，得出∠ACD=90°，∴∠AOE=∠ACD=90°，∴四边形AECF是菱形．
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