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【已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离.(1)求点M的轨迹方程;(2)经过点F,倾斜角为30°的直线m交A,B两点,求|AB|;(3)设过点G(0,4)的直线n交M的轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2)】
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问题描述:

已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离.

(1)求点M的轨迹方程;

(2)经过点F,倾斜角为30°的直线m交A,B两点,求|AB|;

(3)设过点G(0,4)的直线n交M的轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2),O为坐标原点,证明:OC⊥OD.

陈明辉回答:
  1)点M到点F的距离是   |MF|=√[x²+(y-1)²]   点M到直线 y+1=0的距离是d=|y+1|   根据题意,得   x²+(y-1)²=(y+1)²   x²+y²-2y+1=y²+2y+1   于是得   y=x²/4   就是点M的轨迹方程,是一个顶点在原点,以Y轴为对称轴,开口向上的抛物线   2)   直线m的斜率k=tan30º=√3/3   直线m的方程为y=√3/3x+1   代入抛物线方程,得   x²/4=√3/3x+1   x²-4√3/3x-4=0   这个关于x的一元二次方程的两个根x1,x2是直线m与抛物线的两个交点A,B的横坐标   x1+x2=4√3/3   x1x2=-4   y1+y2=(√3/3x1+1)+(√3/3x2+1)=√3/3(x1+x2)+2=4/3+2=10/3   y1y2=(√3/3x1+1)(√3/3x2+1)=1/3(x1x2)+√3/3(x1+x2)+1   =-4/3+4/3+1=1   ∴AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²   =(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2   =16/3+16+100/9-4   =148/9+8=220/9   |AB|=2√55/3   3)   过G(0,4)的直线为y=kx+4   代入抛物线方程,得   x²/4=kx+4   x²-4kx-16=0   x1+x2=4kx1x2=-16   OC的斜率是y1/x1,OD的斜率是y2/x2   (y1/x1)(y2/x2)=(y1y2)/(x1x2)=[k²x1x2+4k(x1+x2)+16]/x1x2   =(-16k²+16k²+16)/(-16)=-1   ∴OC⊥OD
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