已知抛物线y^2=2px的焦点F,A,B是抛物线上的两点,若△ABF是边上为2的等边三角形,则p的取值是?
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问题描述：
已知抛物线y^2=2px的焦点F,A,B是抛物线上的两点,若△ABF是边上为2的等边三角形,则p的取值是?
郭文君回答：
抛物线焦点为F(p/2,0),△ABF为等边三角形,边长为2
则有以F为圆心,2为半径的圆与抛物线的交点即为A,B两点
且A,B两点间的距离为2
圆方程为：(x-p/2)^2+y^2=4
抛物线方程为：y^2=2px
联立,可解得
x1=-p/2-2,x2=-p/2+2
可得y1,2=±√(-p^2-4p);y3,4=±√(-p^2+4p)
①当p0时,抛物线开口向右
可得两个交点为：(-p/2+2,√(-p^2+4p)),(-p/2+2,-√(-p^2+4p))
此时,AB=2√(-p^2+4p)=2
解得p=2±√3
∴p的取值为-2±√3或2±√3
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