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一元函数微分学和不定积分的问题,懂的,就帮我把吧!1.积分√xdlnx=积分(1/√x)dx?怎么得出来?2.要造一个圆柱形油罐,体积为V,问底半径x和高h分别为多少时,才能使其表面积最小?3.设矩形的周
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问题描述:

一元函数微分学和不定积分的问题,懂的,就帮我把吧!

1.积分√xdlnx=积分(1/√x)dx?怎么得出来?

2.要造一个圆柱形油罐,体积为V,问底半径x和高h分别为多少时,才能使其表面积最小?

3.设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体.试求矩形的边长为多少,

才能是圆柱体的体积最大?

4.以直的河岸为一边用篱笆围出一长方形场地,现有48米长的篱笆,问如何选择长,

才能使场地面积最大?

常原飞回答:
  第一题:   因为微分dlnx=(1/x)dx,   (这个式子可以理解为:lnx的导数,(dlnx)/(dx)=1/x,两边同乘以dx.)   所以∫√xdlnx=∫√x×(1/x)dx=∫(1/√x)dx.   第二题:   油罐的底面半径是x,则底面积是πx²,所以体积V=πx²h.   设表面积是S,因底面周长C=2πx,可知侧面积为2πxh,于是S=2πxh+2πx²   考虑到h=V/(πx²),代入则有:   S=2πxV/(πx²)+2πx²=2V/x+2πx²   求导:   S’=4πx-2V/x².   令导数S’=0,得到x³=V/(2π),于是x=r,其中r=三次根号下(V/(2π))   在0<x<r时,S’<0;在x>r时,S’>0,从而x=r是S的唯一极小值点.   因此所求的底面半径x=r,   此时高h=V/(πr²),具体是多少自己算一下吧.   第三题:   设矩形旋转轴的长为a,另一边的长为b,由题意可知2a+2b=120,单位cm就不写了.   这样a=60-b.考虑到a>0,b>0,可求得0<b<60.   因为a为轴,那么这个圆柱体的高就是a,且底面半径是b,其体积为:   V=πb²a=πb²(60-b)=60πb²-πb³.   求导,有:   V’=120πb-3πb²=3πb(40-b).   令V’=0,可得b=0(不满足b>0,舍去)以及b=40.   在0<b<40时,V’>0;在40<b<60时,V’<0,从而在b=40时V有唯一极大值.   此时a=60-b=20.   所以在矩形边长是20cm和40cm时圆柱体体积最大.   第四题:   设场地的长是p,宽q,由题意可知p+2q=48,同上题,单位m不写了.   于是p=48-2q.根据p>0及q>0可得0<q<24.   场地面积为S=pq=(48-2q)q=48q-2q².   求导,得S’=48-4q.   令S’=0,可得q=12.   在0<q<12时S’>0;在12<q<24时S’<0.从而当q=12时S有唯一极大值.   此时p=48-2q=24.   所以应当选择的长为24m,宽为12m.
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