37个完全数都是多少?……
1人问答
问题描述：
37个完全数都是多少?
……
桂亮回答：
完全数不多,已初步看到,前八千多个正整数才4个!物以稀为贵,完全数稀罕.在1到40000000这么多数里,只有七个完全数,它们是:6,28,496,8128,130816,2096128,33550336.可见完全数是非常稀少的.
从第四个完全数8128到第七个完全数33550336的发现经过一千多年,这是因为第七个完全数要比第四个完全数大了4100多倍.这可能是历经一千多年才艰难跨出一步的原因.用完满来形容6,28,496,…这一类数很恰当.这种数一方面表现在它稀罕、奇妙,一方面表现在它的完满,各因数的和不多不少等于它自己.完全数还有一些令人感到神奇的鲜为人知的有趣事实,π数值取小数点后面3位相加恰是第一个完全数6(=1＋4＋1),小数点后7位相加正好等于第2个完全数28(=1＋4＋1＋5＋9＋2
＋6).居然能有如此的联系,难道不足以令人惊讶吗?具体地说,完全数还具有以下的有趣事实：
(1)所有已知的完全数,除6以外,其数字和均为1.也就是说,它们的数字反复相加的最终结果等于1.
例如:496
4＋9＋6=19,1＋9=10,1＋0=1.
(2)所以完全数都可以表示为2的一些连续整数次幂之和,如:
6=21＋22,
28=22＋23＋24,
496=24＋25＋26＋27＋28,
8128=26＋27＋28＋…＋212,
33550336=212＋213＋214＋…＋224.
(3)除了6以外,其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和,如：
28=13＋33,
496=13＋33＋53＋73,
8128=13＋33＋53＋…＋153,
33550336=13＋33＋53＋…＋1253＋…＋1273.
如此完美的模式,难怪完全数如此的迷人,具有魅力,因此,完全数是极美的数.
(4)迄今为止,发现的完全数都是偶数,还没有发现一个奇完全数,但也没有证明奇完全数不存在.
(5)迄今为止,发现的完全数都具有以下的形式：
N=2n－1(2n－1)(其中n与2n－1都是素数).
事实上,在欧几里得《几何原本》卷九中的最后一个定理,就是关于完全数的,它陈述如下：
“如果2n－1是一个素数,则2n－1(2n－1)是一个完全数.”
对于n=2,我们得到完全数6.对于n=4,由于24－1不是素数,所以结果不会产生一个完全数,对完全数的探索,古往今来始终困扰着数学家.
直到现在还没有人发现一个完全数,也没有一个人能够证明奇完全数不存在(这是数论中著名的未解决的问题之一.)人们认为欧几里得定理的逆命题(“每个完全数有2n－1(2n－1)的形式,这里2n－1是一个素数”)可能成立,但至今没有人能够证明.瑞士数学家欧拉(LeonardEuler,1707－1783)证明了所有偶完全数都应当有这样的形式.对完全数的探索一直持续到今天.
今天,人们借助于计算机找到了当n=521,607,1279,2203,2281,3217,7090,4253,4423时相应的完全数.此外,n=9689,9941,11213,19937时也给出了完全数.你能想像这些完全数有多大.倒如,1963年,伊利诺斯大学发现了对于n=11213时的完全数,它包含6751个数字,有22425个因子.至1998年2月,人们知道的完全数共37个.最后一个完全数相应的n=3021377.
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