抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.证：设是M的任意两个自同构,则对M中任二元素a,b有δτ(ab)=δ[τ(ab)]=δ[τ(a)τ(b)]=δτ(a).δτ(b),即乘积
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问题描述：
抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.
证：设是M的任意两个自同构,则对M中任二元素a,b有
δτ(ab)=δ[τ(ab)]=δ[τ(a)τ(b)]=δτ(a).δτ(b),
即乘积也是M的一个自同构.
又因对M中任意元素x有δ(δ^(-1)(x))=(δ^(-1)δ)(x)=x
故
δ^(-1)(ab)=δ^(-1)[δδ^(-1)(a)δδ^(-1)(b)]=δ^(-1)[δ(δ^(-1)(a)δ^(-1)(b)]=δ^(-1)(a)δ^(-1)(b),
即也是M的自同构.因此,M的全体自同构作成M上的对称群S(M).
（证毕）
怎么理解“也是M的一个自同构.”Thankyou!
房斌回答：
要证u是M的一个自同构只要证
A:u:M->M是双射
B:u(a)u(b)=u(ab)
由于两个双射的复合和双射的逆都是双射故A是显然的
题中详细证的是B
证明了δτ(ab)=δτ(a).δτ(b)就可以说δτ是M的一个自同构
证明了δ^(-1)(ab)=δ^(-1)(a)δ^(-1)(b)就可以说δ^(-1)是M的一个自同构
所以说“也是M的一个自同构”
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