【解答过过程的思维启迪,你能在分数1/2.1/3.1/4.1/5...1/90.1/91中,挑选10个出来,加上正负号,使他们的和等于1】
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问题描述：
解答过过程的思维启迪,你能在分数1/2.1/3.1/4.1/5...1/90.1/91中,挑选10个出来,加上正负号,使他们的和等于1
刘志宏回答：
分母是连续的2-91中整数,所以要从这方面入手,可以发现有这里两个通用规律：
a.1/x-1/(x+1)-1/x(x+1)=0;b.1/x+1/(x+1)-1/x(x+1)=2/(x+1);
规则a告诉我们满足这种条件的三个分数相加为零,根据分母是连续2-91中的整数的限制,x可取3-9之间的自然数.随便找两组符合条件的三个数,原题就由找10个数变成找4个数加上正负号,和等于1了.
如何找四个数我们可以参考规则b,规则b已经帮我们找到了三个最后和为2/(x+1)的数,最后一个数设为y,其需满足2/(x+1)+1/y=1,解得x=(y+1)/(y-1),由于x为整数,y不可能太大,满足条件的就y只有2和3.然而,当于y=3时,得到的四个数是(1/2+1/3-1/6+1/3),1/3用了两次,如果题意不允许重复选取,这个情况可以不考虑,
最后我们就得到了这十个数,当y=2时,规则b提供的四个数为(1/3+1/4-1/12+1/2),按规则a再选择与前面不重复的两组数如(1/5-1/6-1/30)、(1/7-1/8-1/56)等
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