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高数:∫(0→1)xarctanx/(1+x^2)^3dx
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问题描述:

高数:∫(0→1)xarctanx/(1+x^2)^3dx

马凌洲回答:
  令x=tanz,dx=sec²zdz   ∫(0→1)xarctanx/(1+x²)³dx   =∫(0→π/4)ztanz/sec⁶z*(sec²zdz)   =∫(0→π/4)zsinzcos³zdz   =∫(0→π/4)zcos³zd(-cosz)   =(-1/4)∫(0→π/4)zd(cos⁴z)   =(-1/4)zcos⁴z|(0→π/4)+(1/4)∫(0→π/4)cos⁴zdz   =-π/64+(1/4)∫(0→π/4)[(1+cos2z)/2]²dz   =-π/64+(1/4)²∫(0→π/4)[1+2cos2z+(1+cos4z)/2]dz   =-π/64+(1/16)[z+sin2z+z/2+(1/8)sin4z]|(0→π/4)   =-π/64+(1/128)(8+3π)   =(8+π)/128
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