已知抛物线C：，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．(Ⅰ)若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(Ⅱ)若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，|初中政治问答-字典翻译问答网

已知抛物线C：，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．(Ⅰ)若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(Ⅱ)若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，

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问题描述：

已知抛物线C：，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．

(Ⅰ)若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

(Ⅱ)若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，求实数m的取值范围．____

郭新回答：

　　【分析】(Ⅰ)根据题意可知：M的坐标和直线l的方程，把直线方程和抛物线方程联立消去y，设A，B两点坐标AB中点P的坐标，通过解一元二次方程求得A，B的坐标，则中点P的坐标可得，进而利用圆的定义求得以AB为直径的圆的方程；　　n(Ⅱ)设A，B两点坐标，则可表示出和，利用，求得λ与A，B坐标的关系式，把点A，B代入抛物线方程，联立求得λx1=m．要使此直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，需要|OM|2=|MB|•|AM|，进而求得关于x1的一元二次方程，进而根据两根之积为m2>0，判断出只可能有两个正根，建立不等式组求得m的范围．　　(Ⅰ)由题意，得M(1，0)，　　n则直线l的方程为y=x-1．　　n由，得x2-6x+1=0. 　　n设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P的坐标为P(x0，y0)，　　n则，，，，　　n故点，，　　n所以，，　　n故圆心为P(3，2)，直径，　　n所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16. 　　n(Ⅱ)设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，，　　n则，，　　n所以.① 　　n因为点A，B在抛物线C上，　　n所以y12=4x1，y22=4x2，② 　　n由①②，消去x2，y1，y2，得λx1=m．　　n若此直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，　　n则|OM|2=|MB|•|AM|，即|OM|2=λ|AM|•|AM|，　　n所以m2=λ[(x1-m)2+y12]. 　　n因为y12=4x1，λx1=m，　　n所以，　　n整理得，x12-(3m-4)x1+m2=0.③ 　　n因为存在直线l，使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，　　n所以关于x1的方程③有正根. 　　n因为方程③的两根之积为m2>0，　　n所以只可能有两个正根，　　n所以，解得m≥4．　　n故当m≥4时，存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列．　　【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．