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数学三大几何难题

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问题描述：

数学三大几何难题

范建平回答：

　　三大几何难题是指：（1）倍立方体：即作一立方体,是该立方体的体积为给定立方体的两倍；（2）但等分角：即对人员给定的一个角,作其三等分角；（3）化圆为方：即作一个正方形,使其面积与一给定的圆相等“古希腊三大几何问题”也称“三大几何问题”,在数学的历史上有三个问题始终以惊人的力量艰难了两千多年.初等几何学到现在至少已有了三千年的历史,在这期间努力于初等几何学之发展的学者们曾经遇到过很多的难题,而始终绞尽学者脑汁的却就是这三个问题.问题是「立方倍积」,「化圆为方」和「三等分角」.立方倍积关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行,居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷,神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍,瘟疫就可以停止.”由此可见这神是很喜欢数学的.居民得到了这个指示后非常高兴,立刻动工做了一个新祭坛,使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍,但是瘟疫不但没停止,反而更形猖獗,使他们都又惊奇又惧怕.结果被一个学者指出了错误：「稜二倍起来体积就成了八倍,神所要的是二倍而不是八倍.」大家都觉得这个说法很对,於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛,可是瘟疫仍不见消灭.人们困扰地再去问神,这次神回答说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍,但形状却并不是正方体了,我所希望的是体积二倍,而形状仍是正方体.」居民们恍然大悟,就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教.由柏拉图和他的弟子们热心研究,但不曾得到解决,并且耗费了後代许多数学家们的脑汁.而由于这一个传说,立方倍积问题也就被称为提洛斯问题.化圆为方方圆的问题与提洛斯问题是同时代的,由希腊人开始研究.有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r,圆周就是2πr,面积是πr2.由此若能作一个直角三角形,其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r,则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等.由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来.但是如何作这直角三角形的边.即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长,这问题阿基米德可就解不出了.三等分角三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早,早到历史上找不出有关的记载来.但无疑地它的出现是很自然的,就是我们自己在现在也可以想得到的.纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法,正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心,用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点,再分别以这两点为圆心,用一个适当的长作半径画弧,这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分.二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢?这样,这一个问题就这么非常自然地出现了.