高中数学初学者求周期函数解法已知函数f(x)满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R),则f(2010)=?取y=1，则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)即f(x)=f(x+1)+f(x-1)所以f(x+1)=f(x+2)+f(x)(在上式中，以x+1代替x)两式相加
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问题描述：
高中数学初学者求周期函数解法
已知函数f(x)满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R),则f(2010)=?
取y=1，则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)
即f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以f(x+1)=f(x+2)+f(x)(在上式中，以x+1代替x)
两式相加，得f(x+2)+f(x-1)=0
所以f(x+2)=-f(x-1)
因此，f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
就是说，函数是以6为周期的周期函数。
f(2010)=f(335*6)=f(0)
在已知等式中取x=1，y=0，则可得4f(1)f(0)=2f(1)，所以f(0)=1/2
因此，f(2010)=f(0)=1/2.
此步不解：
f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
李治军回答：
你是指函数变换（就是什么左右平移之类的）还是成周期的函数（这个应该相对要简单好多）
我不知道你的疑点在哪里希望你可以说的清楚一点
应为我觉得如果是后一种的应该不算是问题可能跟前面这一种有点小问题吧
李岳霖回答：
我没接触过这种函数的左右平移，在教辅书上看到的这个问题，但答案不解例如f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
李治军回答：
f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]这一步由题意f(x+2)=-f(x-1)就相当于用x+4来代换x所以前面那个式子是成立的精髓就在于要学会去凑去配出符合要求的等式那后面其实也是这个意思-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]这一步就是用x+1来代换x意思是差不多的可能这才是你初步学习到后面这样的关系就不需要证明直接可以使用相关形式总结分析：遇到f(x)=f(x+T)(一般是将左式的括号内化简成只有x)那就说明这是个周期为T的函数遇到f(x)=-f(x+T)实际上就是这一题的格式那就说明这是个周期为2T的函数遇到f(x)=1/f(x+T)说明这是个周期为2T的函数遇到f(x)=-1/f(x+T)说明这是个周期为2T的函数后面三种其实都是周期为2T的函数记忆起来也比较方便关于证明就可以用那种迭代凑出来可以给你做个示范证明一下第四种（最复杂的一种应该这个证一下其他都会吧）f(x+T)=-1/f(x+2T)......这一步就是先一步一步代（用x+T代x）变换一下就变成-1/f(x+T)=f(x+2T)又因为f(x)=-1/f(x+T)所以f(x)=-1/f(x+T)=f(x+2T)第一个和第三个相等说明周期为2T全是手打欢迎采纳
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