1.∵双曲线C的顶点为A(0,√2)
∴设双曲线C的方程为y²/2-x²/b²=1,则其中一条渐近线为y=(√2/b)x
∵点A(0,√2)关于一条渐近线的对称点是B(√2,0)
∴AB的中点(√2/2,√2/2)在这条渐近线上
∴√2/2=(√2/b)*(√2/2)
√2/b=1
b=√2
∴双曲线C的方程为y²/2-x²/2=1
2.∵直线的斜率为2且过点B(√2,0)
∴直线的方程为:y=2x-2√2
与双曲线C的方程y²/2-x²/2=1联立,可解得点M,N的坐标
则|MN|=2√70/3