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已知双曲线C,顶点为A(0,根号2),点A关于一条渐近线的对称点是B(根号2,0),斜率为2且过点B的直线交双曲线c于MN两点1求双曲线方程2求MN的长
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问题描述:

已知双曲线C,顶点为A(0,根号2),点A关于一条渐近线的对称点是B(根号2,0),

斜率为2且过点B的直线交双曲线c于MN两点

1求双曲线方程

2求MN的长

刘红丽回答:
  1.∵双曲线C的顶点为A(0,√2)   ∴设双曲线C的方程为y²/2-x²/b²=1,则其中一条渐近线为y=(√2/b)x   ∵点A(0,√2)关于一条渐近线的对称点是B(√2,0)   ∴AB的中点(√2/2,√2/2)在这条渐近线上   ∴√2/2=(√2/b)*(√2/2)   √2/b=1   b=√2   ∴双曲线C的方程为y²/2-x²/2=1   2.∵直线的斜率为2且过点B(√2,0)   ∴直线的方程为:y=2x-2√2   与双曲线C的方程y²/2-x²/2=1联立,可解得点M,N的坐标   则|MN|=2√70/3
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