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(2004•荆州)如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,弦CE交AB于点D.连接OE、AC,已知∠POE=2∠CAB,∠P=∠E.(1)求证:CE⊥AB;(2)求证:PC是⊙O的切线;(3)若BD=20D,PB=9,求⊙O的半
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问题描述:

(2004•荆州)如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,弦CE交AB于点D.连接OE、AC,已知∠POE=2∠CAB,∠P=∠E.

(1)求证:CE⊥AB;

(2)求证:PC是⊙O的切线;

(3)若BD=20D,PB=9,求⊙O的半径及tan∠P的值.

冉好思回答:
  (1)证明:连接OC,   ∴∠COB=2∠CAB,   又∠POE=2∠CAB.   ∴∠COD=∠EOD,   又∵OC=OE,   ∴∠ODC=∠ODE=90°,   即CE⊥AB;   (2)证明:∵CE⊥AB,∠P=∠E,   ∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°,   又∠OCD=∠E,   ∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°,   ∴PC是⊙O的切线;   (3)设⊙O的半径为r,OD=x,则BD=2x,r=3x,   ∵CD⊥OP,OC⊥PC,   ∴Rt△OCD∽Rt△OPC,   ∴OC2=OD•OP,即(3x)2=x•(3x+9),   解之得x=32
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