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已知函数f(x)的定义域为(负无穷,0)U(0,正无穷),且满足2f(x)+f(1/x)=x,是判断f(x)奇偶性,太深的不要
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问题描述:

已知函数f(x)的定义域为(负无穷,0)U(0,正无穷),且满足2f(x)+f(1/x)=x,是判断f(x)奇偶性,

太深的不要

范永回答:
  设z=1/x   2f(1/z)+f(z)=1/z,(1)   z取值于(负无穷,0)U(0,正无穷).   得:f(z)=1/z-2f(1/z)   因为此处z取值与f(x)中x相同,将此式可写为:   f(x)=1/x-2f(1/x)(2)   f(1/x)=1/(2x)-f(x)/2(3)   由条件得   f(1/x)=x-2f(x)(4)   (3)(4)得   1/(2x)-f(x)/2=x-2f(x)   3f(x)/2=x-1/(2x)   f(x)=2/3x-1/(3x)(5)   f(-x)=-2/3x+1/(3x)=-f(x)   函数为奇函数.
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