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已知:如图,M是线段BC的中点,BC=4,分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD,连接AD.(1)求证:四边形ABCD是等腰梯形;(2)将△MDC绕点M逆时针方向旋转α(60°<α<120°
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问题描述:

已知:如图,M是线段BC的中点,BC=4,分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD,连接AD.

(1)求证:四边形ABCD是等腰梯形;

(2)将△MDC绕点M逆时针方向旋转α(60°<α<120°),得到△MD′C′,MD′交AB于点E,MC′交AD于点F,连接EF.

①求证:EF∥D′C′;

②△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.

戴浩回答:
  (1)∵M是线段BC的中点,   ∴BM=MC,   又∵△BAM、△MCD是等边三角形,   ∴∠AMB=∠DMC=60°,MA=MD,   ∴△MAD为等边三角形,   ∴∠ADM=∠DMC=60°,   ∴AD∥BC,   又∵AB=BM=MC=DC,   ∴四边形ABCD为等腰梯形.   (2)①∵∠DMF+∠AMF=60°,∠AME+∠AMF=60°,   ∴∠AME=∠DMF,   ∵在△MAE和△MDF中,   ∠AME=∠DMF∠EAM=∠FDMMA=MD
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