定义在[-1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[-1，0]时，(a∈R)，(Ⅰ)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(Ⅱ)求f(x)在[0，1]上的最大值；(Ⅲ)若f(x)是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围。
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问题描述：
| 定义在[-1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[-1，0]时，(a∈R)， (Ⅰ)写出f(x)在[0，1]上的解析式； (Ⅱ)求f(x)在[0，1]上的最大值； (Ⅲ)若f(x)是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围。 |
李卫国回答：
(Ⅰ)设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，，∴；(Ⅱ)∵，令t=2x，t∈[1，2]，∴，当，即a≤2时，g(t)max=g(1)=a-1；当，即2＜a＜4时，；当，即a≥4时，g(t)max=g(2)=2a-4；综上：当a≤2时，f(x)最大的值为a-1；当2＜a＜4时，f(x)最大值为；当a≥4时，f(x)最大值为2a-4。(Ⅲ)因为函数f(x)在[0，1]上是增函数，所以f′(x)=aln2·2x-ln4·4x=2xln2(a-2·2x)≥0恒成立，∴a-2·2x≥0恒成立，a≥2·2x恒成立，∵2x∈[1，2]，∴a≥4．
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