如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，．(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)若点Q的坐标为(2，0)，A、B为W上的两个动点，且满足QA⊥QB，点Q到直线A
1人问答
问题描述：
如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，．
(1)求动点P的轨迹W的方程；
(2)若点Q的坐标为(2，0)，A、B为W上的两个动点，且满足QA⊥QB，点Q到直线AB的距离为d，求d的最大值．
____
李金华回答：
【分析】(1)设出设点P的坐标，根据条件列方程，化简．
(2)设出A、B的坐标，当AB⊥x轴时，求出Q点到直线AB的距离，当AB斜率存在，设直线AB的方程，代入双曲线方程，使用根与系数的关系及题中条件，先求出AB斜率，再求出Q点到直线AB的距离的表达式，判断距离的最大值．
(1)设点P(x，y)，由已知M(0，y)，N(x，-y)
则，即；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
由QA⊥QB可得
①若直线AB⊥x轴，则x1=x2，
此时，
则x12-8x1+12=0，解之得，x1=6或x1=2
但是若x1=2，则直线AB过Q点，不可能有QA⊥QB
所以x1=6，此时Q点到直线AB的距离为4；
②若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，
则(2k2-1)x2+4kmx+2m2+4=0
则，即
又，
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
∴
=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2
=
则m2+8km+12k2=0，可得m=-6k或m=-2k
若m=-2k，则直线AB的方程为y=k(x-2)，此直线过点Q，这与QA⊥QB矛盾，舍
若m=-6k，则直线AB的方程为y=kx-6k，即kx-y-6k=0
此时若k=0，则直线AB的方程为y=0，显然与QA⊥QB矛盾，故k≠0
∴
由①②可得，dmax=4.
【点评】本题考查轨迹方程的求法及直线与双曲线位置关系的综合应用．
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