设A、B、C、D、均为n阶矩阵,切|A|不等于0,AC=CA求证：|AB|=|AD-CB||CD|
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问题描述：
设A、B、C、D、均为n阶矩阵,切|A|不等于0,AC=CA求证：
|AB|=|AD-CB|
|CD|
吉利久回答：
|A|不等于0,故A是可逆矩阵
[A^(-1)On]*[AB]=[InA^(-1)B]
[-CA^(-1)In][CD][0nD-CA^(-1)B]
两边同取行列式
左边=|A^(-1)|*|AB|=|D-CA^(-1)B|
|CD|
|A|*|A^(-1)|=1
|AB|=|A|*|D-CA^(-1)B|=|A(D-CA^(-1)B|=
|CD|
=|AD-ACA^(-1)B|=|AD-CAA^(-1)B|=|AD-CB|
注：开始2行是矩阵,其中In是n阶单位矩阵
0n是n阶0方阵
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