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【已知F是抛物线X平方=2Y的焦点,A,B是该抛物线上的两动点,且|AB|=5则线段AB的中点到X轴的距离的最小值为?加急理科数学问题】
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问题描述:

已知F是抛物线X平方=2Y的焦点,A,B是该抛物线上的两动点,且|AB|=5则线段AB的中点到X轴的距离的最小值为?

加急理科数学问题

姜松回答:
  连结AF、BF,分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别是C、D.   由抛物线方程x^2=2y,得:抛物线的准线方程为x=-1/2.   由抛物线定义,有:|AC|+1/2=|AF|、|BD|+1/2=|BF|.   显然有:|AF|+|BF|≧|AB|=5,且当F在AB上时,有:|AF|+|BF|=5.   而|AC|+|BD|+1=|AF|+|BF|,∴|AC|+|BD|的最小值为4.   取AB的中点为M,过M作MN⊥x轴交x轴于N.   由AC⊥x轴、MN⊥x轴、BD⊥x轴,得:AC∥MN∥BD,又M∈AB且AM=BM,   ∴由梯形中位线定理,有:MN=(1/2)(|AC|+|BD|).   ∵|AC|+|BD|的最小值为4,∴MN的最小值为2.   ∴AB的中点到x轴的距离的最小值为2.
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