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【椭圆中心在原点处,焦点在坐标轴上,Y=X+1与园交与P、Q且OP垂直于OQ.PQ=2分之根下10,求椭圆方程】
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问题描述:

椭圆中心在原点处,焦点在坐标轴上,Y=X+1与园交与P、Q且OP垂直于OQ.PQ=2分之根下10,求椭圆方程

白英彩回答:
  PQ=2/√10   y=x+1   设椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1,y=x+1代入椭圆方程,得   b^2*x^2+a^2*(x+1)^2=a^2*b^2   (a^2+b^2)x^2+2a^2*x+a^2-a^2*b^2=0   y=x+1与该椭圆相交于P,Q,则   xP+xQ=-2a^2/(a^2+b^2)   xP*xQ=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)   (yP-yQ)^2=(xP-xQ)^2=(xP+xQ)^2-4xP*xQ=4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2   (xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=PQ^2   2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=(2/√10)^2=2/5   20(ab)^2*(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2.(1)   OP⊥OQ   (yP/xP)*(yQ/xQ)=-1   yP*yQ=-xP*xQ   yP=xP+1,yQ=xQ+1   yP*yQ=(xP+1)*(xQ+1)   -xP*xQ=(xP+1)*(xQ+1)   2xP*xQ+(xP+xQ)+1=0   2(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1=0   a^2+b^2-2a^2*b^2=0   b^2=a^2/(2a^2-1).(2)   解方程组(1)、(2),得   a^2、b^2的值   即可得椭圆方程:   但好象题目给出的条件不对   PQ=√10,也不对   2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=(√10)^2=10   20(ab)^2*(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2.(1)   b^2=a^2/(2a^2-1).(2)   解方程组(1)、(2),得   a^2=1/3   b^2=-1   PQ=√10/2   2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=(√10/2)^2=5/4.(1)   b^2=a^2/(2a^2-1).(2)   a^2=2,2/3   b^2=2/3,2   可知应该是PQ=√10/2   椭圆方程有两个,即:   x^2/2+y^2/(2/3)=1   或者x^2/(2/3)+y^2/2=1
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