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设f(x),g(x),h(x)都是多项式,h(x)的首项系数为1证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)
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问题描述:

设f(x),g(x),h(x)都是多项式,h(x)的首项系数为1证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)

李宝绶回答:
  设(f(x),g(x))=q(x)   则f=q*f1,g=q*g1,且(f1,g1)=1   则存在u(x),v(x),使得:   f1*u+g1*v=1   同时乘以q(x)h(x)   则f1*q*h*u+g1*q*h*v=q*h   fh*u+gh*v=q*h   又有:q*h|f*h,q*h|g*h   所以:(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)   有不懂欢迎追问
杜宏博回答:
  谢谢~~不过(f1,g1)=1这个是怎么来的呢?
杜宏博回答:
  从理论上说,f(x)必定可以分解为q(x)与f1(x)的乘积同理,g(x)=q(x)*g1(x)又有q(x)=(f(x),g(x)),那么f1(x)必定g1(x)互素可以用反证法来证明:假设f1(x)与g1(x)不互素,则必存在q1(x)=(f1,g1)(q1不为0次多项式)存在u1,v1,使得:f1*u1+g1*v1=q1同时乘以q:q*f1*u1+q*g1*v1=q*q1f*u1+g*v1=q*q1且q*q1|f,q*q1|g因此(f,g)=q*q1与(f,g)=q矛盾在上面那一题中,我还漏了“h(x)的首项系数为1”应加在“所以:(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)”之前有不懂欢迎追问
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