高数重积分问题质量分布均匀的薄片所占区域D是半椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=0,求该薄片的质心。
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问题描述：
高数重积分问题质量分布均匀的薄片所占区域D是半椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=0,求该薄片的质心。
宋永华回答：
因为薄片质量分布均匀，所以平面薄片的面密度函数μ=ρ(x，y)是常量。不妨设μ=ρ(x，y)=1.D：x^2/a^2+y^2/b^2≤1,y>=0按x型区域计算，D1：-a≤x≤a，0≤y≤(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)则薄片的质量M=∫∫dxdy(区域D1)=∫dx∫dy(区域D1)=∫(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)dx(下限：-a；上限：a）=(2b/a)*(πa^2/4)=πb/2而∫∫xdxdy(区域D1)=∫xdx∫dy(区域D1)=∫x(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)dx(下限：-a；上限：a）【令x=acost,则下限为π，上限为0】=-ba^2∫(sint)^2d(sint)=-ba^2∫(sint)^2d(sint)=0∫∫ydxdy(区域D1)=∫dx∫ydy(区域D1)=(b^2/2a^2)∫(a^2-x^2)dx(下限：-a；上限：a）=2a(b^2)/3因为薄片是均匀的，所以重心等于质心.设薄片的重心为（α，β）则α=∫∫xdxdy/M=0β=∫∫ydxdy/M=[2a(b^2)/3]/(πb/2)=4ab/3π所以薄片的重（质）心为（0，4ab/3π）.
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