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设a1,a2,…,a2n+1均为整数,性质P为:对a1,a2,…,a2n+1中任意2n个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n个数,使得两组所有元素的和相等求证:a1,a2,…,a2n+1全部相等当且仅当a1,a
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问题描述:

设a1,a2,…,a2n+1均为整数,性质P为:对a1,a2,…,a2n+1中任意2n个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n个数,使得两组所有元素的和相等求证:a1,a2,…,a2n+1全部相等当且仅当a1,a2,…,a2n+1具有性质P.

金志华回答:
  证明:①当a1,a2,…,a2n+1全部相等时,从中任意2n个数,将其分为两组,每组n个数,   两组所有元素的和相等,故性质P成立.   ②下面证明:当a1,a2,…,a2n+1具有性质P时,a1,a2,…,a2n+1全部相等.   反证法:假设a1,a2,…,a2n+1不全部相等,则其中至少有一个整数和其它的整数不同,   不妨设此数为a1,若a1在取出的2n个数中,将其分为两组,每组n个数,   则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等,   这与性质P矛盾,故假设不成立,   所以,当a1,a2,…,a2n+1具有性质P时,a1,a2,…,a2n+1全部相等.   综合①②可得,a1,a2,…,a2n+1全部相等当且仅当a1,a2,…,a2n+1具有性质P.
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