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高数,关于等价无穷小1.lim(x趋近0)1/(1-cosx)+1/tanx请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?2.lim(x趋近无穷大)[e/(1+1/x)^x]^x这里的(1+1/x)^x可以用e
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问题描述:

高数,关于等价无穷小

1.lim(x趋近0)1/(1-cosx)+1/tanx

请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?

2.lim(x趋近无穷大)[e/(1+1/x)^x]^x

这里的(1+1/x)^x可以用e代替吗?如果不能,为什么?

黄一敏回答:
  两个问题实际上是同一个问题.想等价替换,必须满足条件:   是以因子形式出项的量,注意,是相对整个表达式是以因子形式出现的,   而不是单独的一部分是因子形式的.   比如第一题,1-cosx在第一部分中是因子,但相对整个表达式不是因子,   因此不能等价替换.当然,如果写成   lim1/(1-cosx)+lim1/tanx,1-cosx是以因子出现的,可以替换.   当然,这样做是不对的,原因是不能写成上面这种形式.   正确做法是先通分,再用洛必达法则或Taylor展式.   第二题类似,(1+1/x)^x相对整个表达式不是因子,因此不能等价替换.   正确做法是:先取对数,然后用洛必达法则或Taylor展式,建议用   Taylor展式.取对数后,   limx*(1-xln(1+1/x))   =limx*(1-x【1/x-1/(2x^2)+小o(1/x^2)】)   =limx*(1/2x+小o(1/x))   =1/2,   因此原极限是e^(1/2).
戈兆祥回答:
  我还有两个疑问哦~1.lim1/(1-cosx)+lim1/tanx,1-cosx是以因子出现的,可以替换。当然,这样做是不对的,原因是不能写成上面这种形式。请问为什么不能写成这种形式呢?limf(x)+g(x)不是等于limf(x)+limg(x)吗?2.第二题中的并非是等价无穷小替换,而是两个重要极限之一lim(x趋近无穷大)(1+1/x)^x=e,这也不行吗?谢谢你~
黄一敏回答:
  1、limf(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)有前提,条件是limf(x)和limg(x)都存在才行。本题不满足。2、不行。只要不是因子的就不行。
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《高数,关于等价无穷小1.lim(x趋近0)1/(1-cosx)+1/tanx请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?2.lim(x趋近无穷大)[e/(1+1/x)^x]^x这里的(1+1/x)^x可以用e|小学数学问答-字典翻译问答网》
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