两个问题实际上是同一个问题.想等价替换,必须满足条件:
是以因子形式出项的量,注意,是相对整个表达式是以因子形式出现的,
而不是单独的一部分是因子形式的.
比如第一题,1-cosx在第一部分中是因子,但相对整个表达式不是因子,
因此不能等价替换.当然,如果写成
lim1/(1-cosx)+lim1/tanx,1-cosx是以因子出现的,可以替换.
当然,这样做是不对的,原因是不能写成上面这种形式.
正确做法是先通分,再用洛必达法则或Taylor展式.
第二题类似,(1+1/x)^x相对整个表达式不是因子,因此不能等价替换.
正确做法是:先取对数,然后用洛必达法则或Taylor展式,建议用
Taylor展式.取对数后,
limx*(1-xln(1+1/x))
=limx*(1-x【1/x-1/(2x^2)+小o(1/x^2)】)
=limx*(1/2x+小o(1/x))
=1/2,
因此原极限是e^(1/2).
我还有两个疑问哦~1.lim1/(1-cosx)+lim1/tanx,1-cosx是以因子出现的,可以替换。当然,这样做是不对的,原因是不能写成上面这种形式。请问为什么不能写成这种形式呢?limf(x)+g(x)不是等于limf(x)+limg(x)吗?2.第二题中的并非是等价无穷小替换,而是两个重要极限之一lim(x趋近无穷大)(1+1/x)^x=e,这也不行吗?谢谢你~
1、limf(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)有前提,条件是limf(x)和limg(x)都存在才行。本题不满足。2、不行。只要不是因子的就不行。