数学微分方程若m^2+mp(x)+q(x)=0,则微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0有一条过点(0,1)的积分曲线是
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问题描述：
数学微分方程
若m^2+mp(x)+q(x)=0,则微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0有一条过点(0,1)的积分曲线是
刘宏东回答：
解微分方程：
1.求dy/dx=2xy的通解
分离变量得dy/y=2xdx；积分之得lny=x²+lnC；故得通解为u=e^(x²+lnC)=Ce^(x²).
2.y²+x²(dy/dx)=xy(dy/dx)
两边同除以xy,得(y/x)+(x/y)(dy/dx)=dy/dx；即有[1-(x/y)](dy/dx)=y/x.(1)；
令y/x=u,则y=xu,dy/dx=u+x(du/dx),代入(1)式得：
[1-(1/u)][u+x(du/dx)]=u；展开得u-1+x(1-1/u)(du/dx)=u；
化简得x(1-1/u)(du/dx)=1；分离变量得(1-1/u)du=dx/x；
积分之得u-lnu=lnx+lnC=ln(Cx),将u=y/x代入即得通(y/x)-ln(y/x)=ln(Cx)
或移项得：y/x=ln(Cx)+ln(y/x)=ln(Cy),于是通解又可些为：y=(1/C)e^(y/x).
3.求特xy'+y=xe^x,已知y(1)=1.
x(dy/dx)+y-xe^x=0,即有(y-xe^x)dx+xdy=0；
其中P=y-xe^x；Q=x；由于∂P/∂y=1=∂Q/∂x,故原方程是全微分方程.
其解u(x,y)=[0,x]∫(y-xe^x)dx+[0,y]∫xdy=[yx-(x+1)e^x]∣[0,x]+xy∣[0,y]
=yx-(x+1)e^x-1+xy=C
将初始条件y(1)=1代入得C=1-2e-1+1=1-2e；
故特解为yx-(x+1)e^x-1+xy=1-2e,化简得y=[(x+1)e^x-2e+2]/2x为特解.
4.求y''-5y'+6y=(x+1)e^(4x)的通解.
齐次方程y''-5y'+6y=0的特征方程为r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0,故得r₁=2,r₂=3.
于是得齐次方程的通解为y=C₁x^(2x)+C₂x^(3x)；
再用待定系数法求出非齐次方程y''-5y'+6y=(x+1)e^(4x)的一个特解y*；
设y*=(b₁+b₂x)e^(4x)
(y*)'=b₂e^(4x)+4(b₁+b₂x)e^(4x)=(4b₁+b₂+4b₂x)e^(4x)
(y*)''=4b₂e^(4x)+4(4b₁+b₂+4b₂x)e^(4x)=(16b₁+8b₂+16b₂x)e^(4x)
代入原式得(16b₁+8b₂+16b₂x)e^(4x)-5(4b₁+b₂+4b₂x)e^(4x)+6(b₁+b₂x)e^(4x)=(x+1)e^(4x)
消去e^(4x),合并同类项得2b₁+3b₂+2b₂x=x+1
对应项系数相等,故得2b₁+3b₂=1.(1)；2b₂=1.(2)；
联立求解得b₂=1/2,b₁=-1/4；故y*=[-1/4+(1/2)x]e^(4x)=-(1/4)(1-2x)e^(4x)
于是得原方程的通解为y=C₁x^(2x)+C₂x^(3x)-(1/4)(1-2x)e^(4x)
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