猜想；等价无穷小与导数的联系我刚学习等价无穷小的时候,发现了一个奇怪的规律~sinx~x,tanx~x,1-cosx~(1/2)*（x^2）,ln(1+x)~x等等这些基本的等价无穷小,可以由两个特征来描绘~1,当x→0,sinx→0,x
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问题描述：
猜想；等价无穷小与导数的联系我刚学习等价无穷小的时候,发现了一个奇怪的规律~
sinx~x,tanx~x,1-cosx~(1/2)*（x^2）,ln(1+x)~x等等这些基本的等价无穷小,可以由两个特征来描绘~
1,当x→0,sinx→0,x→0,或者ln(1+x)→0,x→0（因为前提就是无穷小）
2,x=0,sinx的导数就是1,ln(1+x)的导数就是1,tanx的导数就是1
而对于1-cosx~(1/2)*（x^2）,1-cosx的导数sinx,(1/2)*（x^2）的导数是x,又由于sinx~x,即说明1-cosx,(1/2)*（x^2）的导数当x→0相等
这就是我的猜想.（我是刚学高数的）
孙凤池回答：
很不错嘛,能有这个想法挺不错的,你的这个结论,正好是后面要学到的洛必达法则.
当x→0时,sinx和x都是趋近于0的,因此,根据定义
lim(sinx/x)=(limcosx/1)=1,因此sinx和x是等价无穷小
中间那个式子就是根据洛必达法则得到的：如果原极限是0/0或∞/∞型,那么在分子和分母都可导的情况下,原极限等于分子分母导数比值的极限.
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