已知函数f(x)=loga(x^3+x)(a>0且a≠1)是(0,+∞)上的增函数求使a^x^2-x-│x-1│≥1的取值范围?求使a^x^2-x-│x-1│≥1成立的X取值范围?
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问题描述：
已知函数f(x)=loga(x^3+x)(a>0且a≠1)是(0,+∞)上的增函数
求使a^x^2-x-│x-1│≥1的取值范围?
求使a^x^2-x-│x-1│≥1成立的X取值范围?
高桥茂回答：
这一题呢,根据已知可以知道a>所以我们在解题的话就是在这上面的基础上解题的：
a^x^2-x-│x-1│≥1等价于
a^x^2≥1+x+│x-1│
那么为了去掉绝对值,我们需要讨论x的范围进而求解得到x的范围：
一x≥1a^x^2≥1+x+│x-1│等价于
a^x^2≥1+x+x-1
所以a^x^2≥2x而使得这个不等式的成立的x,我们可以先看成很成立问题,那么就是2x小于等于a^x^2的最小值,而a>1,所以为增函数,所以最小值为a,即当x=1时取得那么得到：
x≤a/2,此时又需要与x≥1求交集,那么还需要在继续讨论a的范围了：
①1＜a≤2则x=1
②a＞2则1≤x≤a/2
二x＜1a^x^2≥1+x+│x-1│等价于
a^x^2≥1+x+1-x
所以a^x^2≥2恒成立又a＞1
∴x≥根号下㏒a2或者x≤负的根号下
㏒a2
再求交集时,得到：x≤负的根号下㏒a2
最后综合得到：①1＜a≤2则x=1
②a＞2则1≤x≤a/2
③x≤负的根号下㏒a2
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