已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（
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问题描述：
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（
孙卫新回答：
【解法1】：
设AB=1,则AA1=2,分别以向量D1A1,向量D1C1,向量D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：
则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),
向量DB=(1,1,0),向量DC1=(0,1,-2),向量DC=(0,1,0),
设向量n=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则
向量n·向量DB=0
向量n·向量DC1=0
即
x+y=0
y-2z=0
取向量n=(-2,2,1),
设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=|向量·向量DC|/|向量n||向量DC|=2/3,
故答案为：2/3.
【解法2】：
如图,设AA1=2AB=2,AC交BD于点O,连结OC1,过C作CM⊥OC1于点H,连结DM.
∵BD⊥AC,BD⊥AA1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
∵CM属于平面ACC1A1,
∴CM⊥BD．
∴CM⊥平面C1BD．
∴∠CDM为CD与平面BDC1所成的角．
OC1=√(CC1²+OC²)=3/√2.
.由等面积法得OC1·CM=OC·CC1,
∴CM=2/3.
∴sin∠CDH=CM/CD=2/3.
故答案为：2/3.
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祝楼主学习进步o(∩_∩)o
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