如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2，0），点B是y轴上的一个动点，连接AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连接ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为
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问题描述：
如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2，0），点B是y轴上的一个动点，连接AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连接ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为（0，t）
（1）当t＞0时，用t的代数式表示点N的坐标；
（2）设△OBN的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在点B，使得△ABN与△ANP相似？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
梁丽萍回答：
（1）过N作NC⊥x轴于C，
∴∠NCA=∠AOB=90°，
∴∠NAC+∠ANC=90°，
由旋转的性质，可得：∠NAB=90°，AN=AM，
∴∠NAC+∠BAO=90°，
∴∠ANC=∠BAO，
∴△ANC∽△BAO，
∴AB：AN=OA：CN=OB：AC，
∵点A坐标（2，0），点B的坐标为（0，t），
∴OA=2，OB=t，
∵M是AB中点，
∴AM=AN=12AB，
∴2：CN=2：1=t：AC，
∴CN=1，AC=t2，
∴OC=OA+AC=2+t2，
∴N（2+t2，1）；
（2）分三种情况：
①当t≥0时，如图1．
S=12OB•OC=12×t×（2+t2）=14t2+t；
②当-4≤t＜0时，如图2．
由（1）可得：CN=1，AC=|t2|=-t2，
∴OC=OA-AC=2+t2，
∴S=12×OB×OC=12（-t）（2+t2）=-14t2-t；
③当t＜-4时，如图3．
由（1）可得：CN=1，AC=|t2|=-t2，
∴OC=AC-OA=-t2-2，
∴S=12×OB×OC=12（-t）（-t2-2）=14t2+t；
（3）存在点B（0，2），使得△ABN与△ANP相似．理由如下：
如图1，当△ABN∽△ANP时，AB：AN=AN：AP，
∵AN=AM=12AB，
∴AP=12AN=14AB．
过点P作PD⊥OA于D，则PD∥OB，
∴△APD∽△ABO，
∴PD：BO=AD：AO=AP：AB=1：4，
∴PD=14OB=14t，AD=14OA=12．
∵PD∥NC，
∴△OPD∽△ONC，
∴PD：NC=OD：OC，
∴14t：1=t20：（2+t2），
∴14t（2+t2）=t20，
整理，得t2+4t-12=0，
解得t1=2，t2=-6（不合题意舍去）．
当t=2时，点B的坐标为（0，2）．
故存在点B（0，2），使得△ABN与△ANP相似．
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