已知曲线1/3x^3+4/3,当曲线过点P(2,p)的切线有三条,求实数p的取值范围.
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问题描述：
已知曲线1/3x^3+4/3,当曲线过点P(2,p)的切线有三条,求实数p的取值范围.
吕士勇回答：
目测是曲线y=x³/3+4/3而不是y=1/(3x³)+4/3.
曲线上x=a处的切线方程为y=a²(x-a)+a³/3+4/3.
与直线x=2有唯一的交点(2,2a²-2a³/3+4/3).
于是过P(2,p)的切线有三条,当且仅当2x²-2x³/3+4/3=p有3个不等实根(易验证a不同则切线不同).
设f(x)=2x²-2x³/3+4/3,则f'(x)=4x-2x²=-2x(x-2).
f(x)有两个极值点,x=0与x=2,分别有f(0)=4/3,f(2)=4.
f(x)在(-∞,0)严格单调递减,值域(4/3,+∞);
f(x)在(0,2)严格单调递增,值域(4/3,4);
f(x)在(0,+∞)严格单调递减,值域(-∞,4).
可知f(x)=p有3个不等实根当且仅当4/3因此p的取值范围是(4/3,4).
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