已知椭圆方程x^2+2y^2=2,直线l与椭圆交于M、N两点,B的坐标为（0,1）问：椭圆右焦点F是否可以是三角形BMN的垂心?若可以,求出l的方程,若不可以请说明理由
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问题描述：
已知椭圆方程x^2+2y^2=2,直线l与椭圆交于M、N两点,B的坐标为（0,1）
问：椭圆右焦点F是否可以是三角形BMN的垂心?若可以,求出l的方程,若不可以请说明理由
贺志强回答：
解题思路：利用垂心的的特征来解题,即垂线与边垂直,也即垂线直线的斜率与边直线的斜率之积为-1.由于垂心坐标和三角形其中一点B的坐标已知,很容易设定MN的方程式,再联解直线与椭圆方程式得出两个交点M、N的坐标,最后再利用垂线与边垂直的特征来求出MN的方程式.
椭圆右焦点为F(1,0）,FB直线方程为y=-x+1,若F为三角形BMN的垂心,则MN⊥FB,因此可以设MN直线方程为y=x+b.将y=x+b代入椭圆方程式,得：
x^2+2x^2+4bx+2b^2-2=0
3x^2+4bx+2b^2-2=0
解得：x1=(-2b+√6-2b^2)/3,y1=(b+√6-2b^2)/3,为M点坐标
x2=(-2b-√6-2b^2)/3,y2=(b-√6-2b^2)/3,为N点坐标
直线BM的斜率Kbm=[1-(b+√6-2b^2)/3]/[0-(-2b+√6-2b^2)/3]=[3-b-√6-2b^2]/[2b-√6-2b^2]
直线FN的斜率Kfn=[0-(b-√6-2b^2)/3]/[1-(-2b-√6-2b^2)/3]=[-b+√6-2b^2]/[3+2b+√6-2b^2]
Kbm*Kfn=-1
[3-b-√6-2b^2]*[-b+√6-2b^2]=-[2b-√6-2b^2]*[3+2b+√6-2b^2]
3(-b+√6-2b^2)+3b^2-6+3[2b-√6-2b^2]+[6b^2-6]=0
9b^2+3b-12=0
3b^2+b-4=0
b=-4/3,b=1（舍去）
故,F可以是三形BMN的垂心,直线l的方程为y=x-4/3
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