（12分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1。求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于。
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问题描述：
（12分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1。求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于。 |
刘志芳回答：
见解析
解法一：假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，则（1－a）b·（1－b）c·（1－c）a＞ ∵0＜a＜1，∴a＞0，1－a＞0。∴0＜a(1－a)≤[]2= 同理0＜b(1－b)≤，0＜c(1－c)≤，三式相乘得：0＜(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a≤ ②①与②矛盾，故假设不成立∴（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中至少有一个不大于[来源:学+科+网]解法二：假设：假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴（1－a）+b≥＞=1同理（1－b）+c＞1，（1－c）+a＞1三式相加得：（1－a）+b+（1－b）+c+（1－c）+a＞3即3＞3，不等式不成立，故假设不成立。
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