已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a＞0,b＞0）及其上任一点P,求证：点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值
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问题描述：
已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a＞0,b＞0）及其上任一点P,求证：点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值
宫赤坤回答：
显然,两渐近线的方程分别是：x/a＋y/b＝0、x/a－y/b＝0,即：bx＋ay＝0、bx－ay＝0.
令点P的坐标为（m,n）,则：
点P到bx＋ay＝0的距离d1＝｜bm＋an｜/√（a^2＋b^2）；
点P到bx－ay＝0的距离d2＝｜bm－an｜/√（a^2＋b^2）.
∴d1d2＝｜（bm）^2－（an）^2｜/（a^2＋b^2）.
∵点P（m,n）在双曲线x^2/a^2－y^2/b^2＝1上,∴m^2/a^2－n^2/b^2＝1,
∴（bm）^2－（an）^2＝（ab）^2,
∴d1d2＝｜（bm）^2－（an）^2｜/（a^2＋b^2）＝｜（ab）^2｜/（a^2＋b^2）＝定值.
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