【设函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，求实数a的取值范围有人给的是(1/2,+∞），有的是（0,1/4］∪〔1/2,+∞），求正解，如果有过程感激不尽】
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问题描述：
设函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，求实数a的取值范围有人给的是(1/2,+∞），有的是（0,1/4］∪〔1/2,+∞），求正解，如果有过程感激不尽
汤德佑回答：
a=0
f(x)=2-2x,对于1x4,不是都有f[x]0所以a=0不成立
a不等于0
f(x)=a[x-(1/a)]^22-(1/a)
a0，f(x)开口向下，
对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值
所以f(4)＝0即a=3/8，和a0矛盾
a0
i)对称轴1/a在（1，4）左边,1/a=1即，a=1时候，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值,所以f(4)＝0即a=3/8
所以a=1成立
ii)对称轴1/a在（1，4）右边,1/a=4即，a=1/4时候，f(x)在(1,4)上单调递增，f(x)在x=1取最小值,所以f(1)＝0即a=0
所以0a=1/4成立
iii)对称轴1/a在（1，4）中间,1=1/a=4即，1/4=a=1时候，f(x)在x=1/a取最小值,所以f(1/a)=2-1/a＝0即a=1/2
所以1/2=a=1成立
综上所述,a的取值范围是(0,1/4]并上[1/2,正无穷)
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