【已知椭圆(a>b>c>0，)的左、右焦点分别为，，若以为圆心，b-c为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．(1)证明：椭圆上的点到点的最短距离为a-c；(2)】
1人问答
问题描述：
已知椭圆(a>b>c>0，)的左、右焦点分别为，，若以为圆心，b-c为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．
(1)证明：椭圆上的点到点的最短距离为a-c；
(2)求椭圆的离心率e的取值范围；
(3)设椭圆的短半轴长为1，圆与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆截得的弦长s的最大值．
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金建华回答：
【分析】(1)设椭圆上任一点Q的坐标为(x0，y0)，根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离
(2)可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥(a-c)求得e的范围．
(3)设直线的方程为y=k(x-1)，与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0根据圆心F2(c，0)到直线l的距离，进而求得答案．
(1)设椭圆上任一点Q的坐标为(x0，y0)，
Q点到右准线的距离为d=-x0，
则由椭圆的第二定义知：=，
∴|QF2|=a-，又-a≤x0≤a，
∴当x0=a时，
∴|QF2|min=a-c．
(2)依题意设切线长|PT|=
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴≥(a-c)，
∴0<≤，从而解得≤e<，
故离心率e的取值范围是解得≤e<，
(3)依题意Q点的坐标为(1，0)，
则直线的方程为y=k(x-1)，
与抛物线方程联立方程组消去y得(a2k2+1)x2-2a2k2x+a2k2-=0
得，
设A(x1，y1)(x2，y2)，则有x1+x2=，x1x2=，
代入直线方程得y1y2=，
x1x2+y1y2=，又OA⊥OB，
∴=0，
∴k=a，
直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F2(c，0)到直线l的距离d=，
∴≤e<，
∴≤c<1，2c+1<3，
∴s∈(0，)，所以弦长s的最大值为．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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