【高中数学】已知数列{an}是首项为a1=1/4,公比q=1/4的等比数列,设数列{bn}满足bn+2=3log1/4an(n∈N×)（1）求数列{an+bn}的前n项和Sn；（2）若Cn满足cn=an乘bn,若cn≤1/4m2+m-1对一切正整数n恒成立,
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问题描述：
【高中数学】已知数列{an}是首项为a1=1/4,公比q=1/4的等比数列,设数列{bn}满足bn+2=3log1/4an(n∈N×)（1）求数列{an+bn}的前n项和Sn；（2）若Cn满足cn=an乘bn,若cn≤1/4m2+m-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围．
陈艇回答：
（1）由题意,可得an=(1/4)^n;
那么：bn+2=3*log(1/4)an=3n;
所以：bn=3n-2,为等差数列；
（2）由条件Cn=an*bn得到：
Cn=(1/4)^n*(3n-2)=3n*(1/4)^n-2*(1/4)^n
记Cn的前n项和为Sn；
那么：Sn=3[1/4+2*(1/4)^2+……+n*(1/4)^n]-2*(1/4+(1/4)^2+……+(1/4)^n);
记Pn=1/4+2*(1/4)^2+……+n*(1/4)^n;--------(1)
则有：1/4*Pn=(1/4)^2+2*(1/4)^3+……+n*(1/4)^(n+1);------(2)
(1)-(2)得到：
3/4Pn=1/4+(1/4)^2+(1/4)^3+……+(1/4)^n-n*(1/4)^(n+1)=1/3*(1-(1/4)^n)-n*(1/4)^(n+1)
所以Sn可变形为:
Sn=3[1/3*(1-(1/4)^n)-n*(1/4)^(n+1)]-2*[1/3*(1-(1/4)^n)]
=1/3*[1-(1/4)^n]-3n*(1/4)^(n+1);
陈艇回答：
（1）由题意知，an=（
1
4
）n．
∵bn+2=3log
1
4
an，b1+2=3log
1
4
a1
∴b1=1
∴bn+1-bn=3log
1
4
an+1=3log
1
4
an=3log
1
4
an+1
an
=3log
1
4
q=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，an=（
1
4
）n．bn=3n-2
∴Cn=（3n-2）×（
1
4
）n．
∴Sn=1×
1
4
+4×（
1
4
）2+…+（3n-2）×（
1
4
）n，
于是
1
4
Sn=1×（
1
4
）2+4×（
1
4
）3+…（3n-2）×（
1
4
）n+1，
两式相减得
3
4
Sn=
1
4
+3×[（
1
4
）2+（
1
4
）3+…+（
1
4
）n）-（3n-2）×（
1
4
）n+1，
=
1
2
-（3n-2）×（
1
4
）n+1，
∴Sn=
2
3
-
12n+8
3
×（
1
4
）n+1
（3）∵Cn+1-Cn=（3n+1）×（
1
4
）n+1-（3n-2）×（
1
4
）n=9（1-n）×（
1
4
）n+1，
∴当n=1时，C2=C1=
1
4
当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＜…＞Cn
∴当n=1时，Cn取最大值是
1
4
又Cn≤
1
4
m2+m-1
∴
1
4
m2+m-1≥
1
4
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．
望采纳
陈艇回答：
（1）由题意，可得
an=(1/4)^n;
那么：
bn+2=3*log(1/4)an=3n;
所以：
bn=3n-2,为等差数列；
（2）由条件Cn=an*bn得到：
Cn=(1/4)^n*(3n-2)=3n*(1/4)^n-2*(1/4)^n
记Cn的前n项和为Sn；那么：
Sn=3[1/4+2*(1/4)^2+……+n*(1/4)^n]-2*(1/4+(1/4)^2+……+(1/4)^n);
记Pn=1/4+2*(1/4)^2+……+n*(1/4)^n;--------(1)
则有：
1/4*Pn=(1/4)^2+2*(1/4)^3+……+n*(1/4)^(n+1);------(2)
(1)-(2)得到：
3/4Pn=1/4+(1/4)^2+(1/4)^3+……+(1/4)^n-n*(1/4)^(n+1)
=1/3*(1-(1/4)^n)-n*(1/4)^(n+1)
所以Sn可变形为:
Sn=3[1/3*(1-(1/4)^n)-n*(1/4)^(n+1)]-2*[1/3*(1-(1/4)^n)]
=1/3*[1-(1/4)^n]-3n*(1/4)^(n+1);望采纳
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