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高等数学关于奇偶函数设函数f(x)的定义域关于原点对称,则可表示成奇函数与偶函数的和.f(x)=1/2[f(x)-f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]前者为奇后者为偶,为什么呢?
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问题描述:

高等数学关于奇偶函数

设函数f(x)的定义域关于原点对称,则可表示成奇函数与偶函数的和.f(x)=1/2[f(x)-f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]前者为奇后者为偶,为什么呢?

宫赤坤回答:
  对于任意定义域关于原点对称的函数f(x),设F(x)=[f(x)-f(-x)]/2,G(x)=[f(x)+f(-x)]/2,则   因为F(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-F(x),故F(x)是奇函数;   G(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=G(x),故G(x)是偶函数.   而f(x)=F(x)+G(x),即f(x)可表为一奇函数和一偶函数之和.
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