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【已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等差数列,试判断ap-1,aq-1,ar-1是否成】
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问题描述:

已知数列{an}的前n项和为Sn,且 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等差数列,试判断ap-1,aq-1,ar-1是否成等比数列?并说明理由.

石睿回答:
  (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,   ∴当n=1时,有 a1=(1-1)S1+2,解得 a1=2.…(1分)   由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,①   得a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=nSn+1+2(n+1),②…(2分)   ②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2.③…(3分)   以下提供两种方法:   法1:由③式得:(n+1)(Sn+1-Sn)=nSn+1-(n-1)Sn+2,   即Sn+1=2Sn+2; …(4分)   ∴Sn+1+2=2(Sn+2),…(5分)   ∵S1+2=a1+2=4≠0,   ∴数列{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.   ∴Sn+2=4×2n-1,即Sn=4×2n-1-2=2n+1-2.…(6分)   当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n,…(7分)   又a1=2也满足上式,   ∴an=2n.…(8分)   法2:由③式得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2=n(Sn+1-Sn)+Sn+2,   得an+1=Sn+2.④…(4分)   当n≥2时,an=Sn-1+2,⑤…(5分)   ⑤-④得:an+1=2an.…(6分)   由a1+2a2=S2+4,得a2=4,   ∴a2=2a1.…(7分)   ∴数列{an}是以a1=2为首项,2为公比的等比数列.   ∴an=2n…(8分)   (2)∵p,q,r成等差数列,   ∴p+r=2q.…(9分)   假设ap-1,aq-1,ar-1成等比数列,   则(ap-1)(ar-1)=(a
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