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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1●x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2
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问题描述:

函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,
有f(x1●x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x﹣6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.

田密回答:
  (1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)证明:令x1=x2=﹣1,有f[(﹣1)×(﹣1)]=f(﹣1)+f(﹣1).解得f(﹣1)=0.令x1=﹣1,x2=x,有f(﹣x)=f(﹣1)+f(x),∴f(﹣x)=f(x).∴f(x)为偶函数.(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.∴f(3x+1)+f(2x﹣6)≤3即f[(3x+1)(2x﹣6)]≤f(64).(*)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴(*)等价于不等式组或或或∴3<x≤5或﹣≤x<﹣或﹣<x<3.∴x的取值范围为{x|﹣≤x<﹣或﹣<x<3或3<x≤5}.
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